Rationaalifunktio on yhtälö, joka on muodossa y = N (x)/D (x), jossa N ja D ovat polynomeja. Yrittämällä piirtää tarkka käyrä yhdellä kädellä voi olla kattava katsaus monista lukion tärkeimmistä matematiikan aiheista perusalgebralta differentiaalilaskulle. Harkitse seuraavaa esimerkkiä: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Askeleet
Vaihe 1. Etsi y sieppaus
Aseta vain x = 0. Kaikki paitsi vakioehdot katoavat, jättäen y = 5/2. Tämän ilmaiseminen koordinaattiparina (0, 5/2) on piste kaaviossa. Kuvaa se kohta.
Vaihe 2. Etsi vaakasuora symboli
Jaa nimittäjä pitkään laskijaan määrittääksesi y: n käyttäytymisen suurilla absoluuttisilla arvoilla. Tässä esimerkissä jako osoittaa, että y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Suurten positiivisten tai negatiivisten x -arvojen kohdalla 17/(8 x + 4) lähestyy nollaa ja kuvaaja lähentää viivaa y = (1/2) x - (7/4). Piirrä tämä viiva katkoviivan tai kevyesti piirretyn viivan avulla.
- Jos osoittimen aste on pienempi kuin nimittäjän aste, ei ole jakoa ja asymptootti on y = 0.
- Jos deg (N) = deg (D), asymptootti on vaakasuora viiva johtavien kertoimien suhteessa.
- Jos deg (N) = deg (D) + 1, asymptootti on viiva, jonka kaltevuus on johtavien kertoimien suhde.
- Jos deg (N)> deg (D) + 1, suurille arvoille | x |, y siirtyy nopeasti positiiviseen tai negatiiviseen äärettömyyteen toisen asteen, kuutiometrin tai korkeamman asteen polynomina. Tässä tapauksessa ei todennäköisesti kannata piirtää jakauman jakajaa tarkasti.
Vaihe 3. Etsi nollia
Rationaalifunktiolla on nolla, kun sen lukija on nolla, joten aseta N (x) = 0. Esimerkissä 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Tämän asteen erottelija on b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36-40 = -4. Koska erottelija on negatiivinen, N (x): llä ja siten f (x): llä ei ole todellisia juuria. Kaavio ei koskaan ylitä x -akselia. Jos nollia löytyi, lisää ne pisteeseen kaavioon.
Vaihe 4. Etsi pystysuorat asymptootit
Pystysuuntainen asymptootti esiintyy, kun nimittäjä on nolla. Asetus 4 x + 2 = 0 antaa pystyviivan x = -1/2. Piirrä jokainen pystysuora asymptootti vaalealla tai katkoviivalla. Jos jokin x: n arvo tekee sekä N (x) = 0 että D (x) = 0, siellä voi olla pystysuora asymptootti tai ei. Tämä on harvinaista, mutta katso vinkkejä, miten käsitellä sitä, jos se tapahtuu.
Vaihe 5. Katso jaon loppuosa vaiheessa 2
Milloin se on positiivinen, negatiivinen tai nolla? Esimerkissä jäljelle jäävän osan lukija on 17, joka on aina positiivinen. Nimittäjä, 4 x + 2, on positiivinen pystysuoran asymptootin oikealla puolella ja negatiivinen vasemmalla. Tämä tarkoittaa sitä, että kaavio lähestyy yllä olevaa lineaarista asymptoottia x: n suurille positiivisille arvoille ja alhaalta suurille negatiivisille x -arvoille. Koska 17/(8 x + 4) ei voi koskaan olla nolla, tämä kuvaaja ei koskaan leikkaa suoraa y = (1/2) x - (7/4). Älä lisää mitään kaavioon juuri nyt, mutta ota nämä johtopäätökset huomioon myöhempää tarvetta varten.
Vaihe 6. Etsi paikallinen ääripää
Paikallinen raaja voi esiintyä aina, kun N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Esimerkissä N '(x) = 4 x - 6 ja D' (x) = 4 N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Laajeneminen, termien yhdistäminen ja jakaminen neljällä lehdellä x 2 + x - 4 = 0. Neliökaava näyttää juuret lähellä x = 3/2 ja x = -5/2. (Nämä eroavat noin 0,06: sta tarkista arvoista, mutta kaaviosi ei ole riittävän tarkka huolehtimaan tästä yksityiskohdasta. Kohtuullisen järkevän lähentämisen valitseminen helpottaa seuraavaa vaihetta.)
Vaihe 7. Etsi kunkin paikallisen ääripään y -arvot
Liitä edellisen vaiheen x -arvot takaisin alkuperäiseen rationaalifunktioon löytääksesi vastaavat y -arvot. Esimerkissä f (3/2) = 1/16 ja f (-5/2) = -65/16. Lisää nämä pisteet (3/2, 1/16) ja (-5/2, -65/16) kuvaajaan. Koska lähentämme edellisessä vaiheessa, nämä eivät ole tarkat minimit ja maksimit, mutta ovat todennäköisesti lähellä. (Tiedämme, että (3/2, 1/16) on hyvin lähellä paikallista minimiä. Vaiheesta 3 lähtien tiedämme, että y on aina positiivinen, kun x> -1/2, ja löysimme arvon jopa 1/16, joten ainakin tässä tapauksessa virhe on todennäköisesti pienempi kuin viivan paksuus.)
Vaihe 8. Yhdistä pisteet ja laajenna kuvaaja sujuvasti tunnetuista pisteistä asymptoteihin varmistaen lähestyäksesi niitä oikeasta suunnasta
Varo, ettet ylitä x -akselia paitsi kohdissa, jotka on jo löydetty vaiheessa 3. Älä ylitä vaakasuoraa tai lineaarista asymptoottia paitsi kohdissa, jotka on jo löydetty vaiheessa 5. Älä muuta ylöspäin suuntautuvasta alaspäin kaltevaan paitsi edellisessä vaiheessa havaittu ääripää.
Video - Käyttämällä tätä palvelua joitakin tietoja voidaan jakaa YouTuben kanssa
Vinkkejä
- Jotkut näistä vaiheista voivat sisältää korkean asteen polynomin ratkaisemisen. Jos et löydä tarkkoja ratkaisuja tekijöiden, kaavojen tai muiden keinojen avulla, arvioi ratkaisut numeerisilla tekniikoilla, kuten Newtonin menetelmällä.
- Jos noudatat ohjeita järjestyksessä, yleensä ei ole tarpeen käyttää toisen johdannaisen testejä tai vastaavia mahdollisesti monimutkaisia menetelmiä sen määrittämiseksi, ovatko kriittiset arvot paikallisia maksimia, paikallisia minimejä vai kumpikaan. Yritä ensin käyttää edellisten vaiheiden tietoja ja hieman logiikkaa.
- Jos yrität tehdä tämän vain esilaskentamenetelmillä, voit korvata paikallisen ääriarvon löytämisen vaiheet laskemalla useita muita (x, y) järjestettyjä pareja jokaisen asymptoottiparin väliin. Vaihtoehtoisesti, jos et välitä siitä, miksi se toimii, ei ole mitään syytä, miksi esilaskentaoppilas ei voi ottaa polynomin derivaattaa ja ratkaista N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
Harvoissa tapauksissa osoittimella ja nimittäjällä voi olla yhteinen ei -vakio tekijä. Jos noudatat vaiheita, tämä näkyy nollana ja pystysuorana asymptoottina samassa paikassa. Se on mahdotonta, ja todellisuudessa tapahtuu jokin seuraavista:
- N: n (x) nollalla on suurempi kertolasku kuin nollan kohdassa D (x). Kaavio f (x) lähestyy nollaa tässä vaiheessa, mutta on määrittelemätön siellä. Osoita tämä avoimella ympyrällä pisteen ympärillä.
- N: n (x) nolla ja D: n (x) nolla on yhtä monta kertaa. Kaavio lähestyy jotakin nollasta poikkeavaa pistettä tälle x: n arvolle, mutta se on määrittelemätön siellä. Osoita tämä jälleen avoimella ympyrällä.
- N: n (x) nollalla on pienempi kertolasku kuin nollan kohdassa D (x). Tässä on pystysuora asymptootti.
